Was ist denn nun Licht? Von Maxwells elektromagnetischen Wellen zu gequetschten Photonen

 21.11 Termschema und Übungen In der Tabelle sind für einige Quantenzahlen n die "Bahnradien" r, die "Geschwindigkeiten" v, die Umlaufsfrequenzen f sowie die Energien in eV zusammengetragen.     Aufgabe 1: Zeichne das Termschema aus den Werten der letzten Spalte und alle Übergänge der Balmerserie ein. Hier ist das unterste Energieniveau auf 0 eV, als Potenzialtopf gedacht sollte es bei - 13,6 eV liegen    Aufgabe 2: Berechne zu jeder Spalte mindestens einen Wert selbst. 21.12 Wasserstoffähnliche Ionen  Das Bohrsche Modell funktioniert auch sehr gut bei Ionen, die nur noch ein Elektron haben. Beispiel: Helium hat die Kernladungszahl Z = 2, da es zwei Protonen im Atomkern hat. Im Normalfall hat es auch zwei Elektronen. Das bezeichnet man als He I. Ionisiert man Helium zu He+, dann hat es nur noch ein Elektron. He+ wird als He II bezeichnet. Der nackte Atomkern ist He++, also He III. Ihn nennt man auch α - Teilchen. Das Bohrsche Modell gilt also auch für die folgenden

  21.10 Herleitung der Balmerformel Nun können wir den letzten Schritt machen, die Balmerformel herleiten: Dazu müssen wir die Energiedifferenz Δ E zwischen zwei Zuständen ausrechnen und können die, nach dem 2.Bohrschen Postulat (Δ E = h*f),  in die Frequenz f des Photons umrechnen. Dann kommt der große Triumph von Bohr...er kann die experimentell bestimmte Rydbergkonstante auf Naturkonstanten Elektronenladung e, Elektronenmasse m, elektr. Feldkonstante ε und Plancksches Wirkungsquantum h zurückführen.   Aufgabe:  Schlagt mal alle Werte dieser Naturkonstanten nach und rechnet die Rydbergkonstante damit aus. Und für ganz Hartgesottene: Vollzieht man die Einheitenrechnung nach.... Dazu müsst ihr euch erinnern: 1 J = 1 VAs = 1 Nm, 1 N = 1 kg*m/s². Nun noch mal im Video.. (Leider habe ich ursprünglich in der Skizze oben rechts m und n vertauscht...im Bild ist es korrigiert!). Ergänzung: Die Quantenmechanik kommt ohne stehende Wellen aus und erhält die wirklichen Maxima für die Wahrsciehnli

 21.9 Berechnung der Energien Der Schritt ist recht überschaubar... Wir nehmen die EB W = -1/2*k*e²/r und setzen einfach unsere eben erhaltene Formel für r ein. Damit wir zu der üblichen Notation kommen, müssen wir dann noch k ersetzen: Die Gesamtenergie des Elektrons ist negativ,W ~ -1/n², d.h. es ist wirklich im Atom gefangen und wie wir das schon besprochen haben, nehmen die Energieterme mit wachsendem n zu, aber ihre Unterschiede werden immer kleiner. Nur so konnten wir das Konvergieren der Balmerlinien erklären.  Das war beim Potenzialtopf anders, da nahmen die Abstände quadratisch zu. Und beim Magnetatom waren sie äquidistant.        

  21.8 Berechnung der Bahnradien Wir schreiben erst einmal unsere Bedingungen hin, so wie wir das in  P111 beim Magnetatom gemacht haben: Quantenbedingung QB : 2*π*r = n* λ Wellenbedingung WB : λ = h/p = h/(m*v) Energiebedingung EB : Wges = -1/2*k*e²/r² Kraftbedingung KB: m*v²/r = k*e²/r²  (Zentralkraft = Coulombkraft) So...und nun wurschtelt mal mit den Formeln rum, bis ihr auf    r = h² / (4π²*m*e²*k) * n²  kommt... Die WB setzt man in die QB ein, löst nach v auf und setzt das in die KB ein. Die EB brauchen wir hier noch nicht. Da ihr das aber nie selbst können sollt, könnt ihr auch auf meinen Notizzettel schauen und mir lauschen... Achtung Schreibfehler: In der Energiebedingung darf nur r im nenner stehen, nicht r²! Da die Radien mit der "Bahnnummer" n quadratisch wachsen, werden H-Atome sehr schnell sehr groß (vergl. die Aufgabe zu Rydbergatomen ). Nun geb ich noch mal meinen Senf dazu...

 21.7. Wenn man abbremst, wird man schneller Wir wollen, bevor wir uns weiter auf den Formalismus des H-Atoms stürzen, noch etwas Sinnvolles lernen... Dazu nehmen wir den Virtialsatz für Kräfte, die wie Gravitation oder elektrische Kraft mit 1/r² abnehmen: Da gilt: Wkin = -1/2*Wpot Eine solche Formel gilt auch für Differenzen:   ΔWkin = -1/2* ΔWpot Nun stellt euch einen Satelliten vor, der um die Erde kreist, ein Elektron, dass um ein Proton kreist, die Erde, die um die Sonne kreist, ein Dingens, das um ein Döngels kreist (aber mit einer Kraft F ~ 1/r² gebunden ist). Fangen wir mal mit der ISS an. Die soll auf eine höhere Umlaufbahn kommen. Sie braucht also Hubarbeit, ihre potenzielle Energie muss um  ΔWpot zunehmen. Was passiert mit ihrer kinetischen Energie? Da ΔWkin = -1/2 * ΔWpot ist, nimmt diese ab (Differenz ist <0), also genau um 50% der Zunahme der Wpot. Also: Die Hälfte der notwendigen Erhöhung der Wpot kommt aus der kinetischen Energie (die ISS ist weiter außen in der T

  21.6 Der Virialsatz Wir haben bisher erhalten: Kinetische Energie des Elektrons im Wasserstoffatom: Wkin = 1/2* k*e²/r Potenzielle Energie des Elektrons im Wasserstoffatom: Wpot = - k*e²/r Man erkennt sofort: Wkin = - 1/2*Wpot oder  Wpot = -2 Wkin Dieser Zusammenhang ist genau so grundlegend wie Energie- und Impulserhaltungssatz, man nennt ihn den Virialsatz. Er wurde 1870 von Rudolph Clausius im Rahmen der Thermodynamik formuliert. Streng genommen gilt er nur für die zeitlichen Mittelwerte der Energien. Das ist für uns aber unwichtig, da die Energien eines Elektrons konstant sind (wenn es in seinem Energiezustand bleibt). Deswegen können wir in Zukunft ganz einfach aus der kinetischen Energie die potenzielle Energie ausrechnen, ohne Potenzialbegriff, ohne Integrieren...nur *2 und ein Minus davor... Ihr müsst nur den Satz angeben und erwähnen, dass er in einem abgeschlossenen stabilen System gilt. Und das ist ja ein Wasserstoffatom, so lange kein Photon reinfliegt und  das Elektron

  21.5 Berechnung der Elektronenenergie im Potenzial des Protons Diese Rechnungen sind eine schöne Wiederholung des Potenzialbegriffs aus Q1. Sie sollten von euch erklärt, aber nicht selbständig ausgeführt werden können Fangen wir an,... 21.5.1 Kinetische Energie Wir nutzen W = 1/2*m*v² und erhalten v aus der Überlegung, dass die Zentralkraft für die "Kreisbahn" des Elektrons um das Proton die elektrische Kraft sein muss.   Dann erhalten wir:     Wkin = 1/2 k*e²/r  21.5.2 Potenzielle Energie Die potenzielle Energie am Punkt P ist die Arbeit, die man verrichten muss oder die das Feld verrichtet, wenn man einen Probekörper von einem Bezugspunkt Po zu einem Punkt P bringt. Um soclhe Energien berechnen zu können haben wir das Potenzial eingeführt. Das ist die Arbeit pro Probeeigenschaft, also W/q oder W/m. Bestimmt man die potenzielle Energie eines Körpers auf der Erde , so legt man den Bezugspunkt auf Meeresniveau und nutzt die einfache Formel W = m*g*h, da das Erdgravitationsfe

 Bevor wir nun den ganzen "Theoriekram" machen, erst einmal eine praktische Übung, bei der  man viel lernt, was bei Abituraufgaben benötigt wird: 21.4.3 Messung der Rydbergkonstanten Ich habe drei Wasserstoffspektren hergestellt, die unterschiedlich lang belichtet sind. Dazu musste aus dem molekularem Wasserstoff erst atomarer Wasserstoff in einer Gasentladung erzeugt werden. Dann wurde das Spektrum mit einem Prismenspektrographen fotografiert. Danach habe ich die Wasserstoffröhre durch eine Quecksilberröhre ausgetauscht und die gleiche Aufnahme ein zweites Mal mit Licht von Quecksilberdampf belichtet. Damit man die Emissionslinien von Wasserstoff von denen des Quecksilbers unterscheiden kann, habe ich bei der Quecksilberaufnahme den Beleuchtungsspalt des Spektrographen in der Mitte mit schwarzem Klebeband abgeklebt. Einfach, aber wirkungsvoll... Deswegen sind die Quecksilberlinien unterbrochen.   Abbildungen aus Fuchs, Haupt, Loose, Asdtronomie IV, Klett Spektrallinien von Q

 Zuerst die Lösungen der Aufgaben : (1) Wir haben in unserem Potenzialtopf ja Wellenlängen berechnet, ebenso im Magnetfeld. Können diese beiden Modelle die Wasserstoffspektren erklären? Nein: Beim Potenzialtopf nehmen die Energien quadratisch zu, deswegen müssen die Wellenlängen überproportional kleiner werden, sie können nie konvergieren. Bei den  Landau-Niveau  sind die Energieterme äquidistant, da können Wellenlängen ebenfalls nicht konvergieren. (2) Wie sollten die Energieniveaus angeordnet sein, damit eine solche Konvergenz von Wellenlängen entsteht? Das Bild oben kann nicht stimmen. Wieso? Auch im Bild oben sind die Zustände äquidistant eingezeichnet. Das stimmt weder für die Energien noch für die "Bahnradien". Die Abstände der Energieniveaus müssen ebenfalls kleiner werden, wenn n steigt. Nur wenn die Energieniveaus konvergieren, tun das auch die Wellenlängen! (3) Rechne zur "Grenzwellenlänge" 364,6 nm die zugehörige Energie in eV aus. Mit E = h*c/λ erhält