Herleitungen der Unbestimmtheitsbeziehungen

Fangen wir mit der Gitarrenstimmer-Formel an:

Je genauer man die Frequenz einer Gitarre einstellen will, desto länger braucht man. Der Zusammenhang ist sogar antiproportional.

Formel:

 Δ f *   Δ t  = 1

Dabei ist Δf die beabsichtigte Frequenzgenauigkeit und Δt die Zeit zum Stimmen.

Diese Formel gitl auch für das Geigenspiel: Wenn schnell hintereinander Töne erzeugt werden (z.B. beim schnellen Pizzicato), muss der "Ton nicht so gut getroffen werden" wie beim langsamen Tonwechsel.

Eine sehr eindrucksvolle Demsontration dieser Formel kann man in fast jedem Laserlabor beobachten:

Ein sehr kurzer Laserimpuls einer einzigen Wellenlänge (Δt sehr klein) wird durch ein Gitter geschickt. Hinter dem Gitter entsteht ein Spektrum aus allen Wellenlängen (Δf groß).

Aus einfarbigem Licht kann man mehrfarbiges Licht machen, wenn es nur kurz gepulst ausgesandt wird.

Herleitung:

Wenn ich die Zeit Δt lang einen Ton der Frequenz f anhöre, dann erreichen n = f * Δt Schwingungen mein Ohr. Um diese Formel zu verstehen, muss man sich nur klar machen, dass f die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde darstellt.

Nun erhöhe ich die Frequenz von f auf f+Δf. Dann brauche ich mindestens eine Schwingung mehr, um den Unterschied zu erkennen. Somit muss jetzt mindestens gelten:

n+1 = (f +  Δf) * Δt   = f * Δt + Δf * Δt = n  + Δf * Δt 

Daraus ergibt sich die gesuchte Formel:  Δf * Δt = 1

Diese Formel ist allgemeingültig, sie gilt nicht nur beim Gitarre stimmen...

Wir multiplizieren die Gleichung mit h:

Δf * Δt = 1 |*h

h* Δf * Δt =h

 ΔE * Δt =h

Das ist die Unbestimmtheitsbeziehung für Energie und Zeit. Sie wird im Hauptteil besprochen.

Für Photonen können wir daraus die Heisenbergsche Unbestimmtheitsbeziehung herleiten:

Die Energie eines Photons ist E = p*c, also gilt

Δp * c * Δt = h

Δp * Δx= h

Das ist zumindest von der Größenordnung her Heisenbergs Ergebnis.

Eine triviale allgemeine Herleitung für Quanten ist mir nicht bekannt.