P112: Lösungen Quantensprünge im Magnetfeld

 19.6.4 Lösungen der Aufgaben:

 a) Zeige, dass  für die Energieterme von auf sehr engen Kreisbahnen im Magnetfeld laufenden Elektronen gilt:
 E  = h/(4π) * e*B / m  * n (Landau-Niveaus) n= 1,2,3,4

b) Bei Neutronensternen treten Magnetfelder mit B = 1 GT auf. Berechne die Größe der
ersten drei Energieniveaus in keV. 

c) Vergleiche die Quantenzustände in einem solchen „Landau –Atom“ mit denen eines
  linearen Potenzialtopfs (E  = h²/(8mL²) * n²).
d) Berechne die Wellenlängen des  Übergangs von n= 3 auf n=2 im
Landau-Atom (B = 1 GT)  sowie im linearen Potenzialtopf (L = 1 nm). 

e) Welche Ausdehnung haben Landau –Atome?

Hinweise:

Wir haben die folgenden Ausgangsgleichungen:

Quantenbedingung: L = 2πr =n* λ ,  n= 1,2,3

   Achtung: Wir haben Kreisbahnen, da passen nur ganze Wellenlängen geschlossen drauf. Zeichnet das mal auf.

Wellenbedingung: λ = h/p = h/(m*v)

Energiebedingung: E = 1/2*m*v²  (in Magnetfeldern gibt es keine potenzielle Energie).

Hinzu kommt hier eine

Kraftbedingung: F = e*v*B = m*v²/r

(Im Potenzialtopf war ja die potenzielle Energie Innen durchgehend gleich 0, also gab es keine Kraft)

 Lösung:

a) Ich fange mit der Quantenbedingung an und setze da die Wellenbedingung ein (ich ersetze also das λ):

       2πr =n*h/(m*v)

   Nun nehme ich die Kraftbedingung und bestimme damit r = m*v/(e*B) und setze das in die eben            erhaltene Formel ein:

       2π* m*v/(e*B) = h/(m*v) * n

   Nun kann ich v² bestimmen und die Energieformel nutzen:

       v² = h/(m²*2π) * e*B*n

  ergibt:

       E = 1/2*m* h/(m²*2π) * e*B*n

  Das muss ich nur vereinfachen und erhalte die bekannte Lösung.

Ihr müsst das mal selbst aufschreiben und durchführen. Ist ein gutes Training aus gegebenen Formeln eine ebenfalls gegebene Formel herzuleiten.

b) 57,7 keV / 115 keV / 174 keV

c) Im Potenzialtopf wächst der Abstand zwischen den Enrgieniveaus quadratisch, im Magnetfeld ist er konstant: Alle Energieniveaus sind immer gleich weit vom nächsten oder vorherigen entfernt (E ~ n).

d) Magnetfeld: 21,5 nm

    Potenzialtopf: 661 nm  (das kommt schon sehr gut an die Wellenlänge der "echten" Linie vom                                       Wasserstaoffatom ran (H-Alpha, lernen wir bald kennen).

e) Hier muss man ein bisserl mehr denken:

Wir nehmen die Kraftbedingung und lösen sie nach r auf:

 r = m*v/(e*B)

v erhalten wir aus der Energiebedingung: v² = 2E/m, Wurzel ziehen (E ist ja gegeben)

Wir erhalten etwa 0,8 pm, das ist ungefähr die Größe von Atomkernen...kein Wunder, dass sich die Elektronen eingesperrt fühlen und rumquanteln...

Wer übrigens einen Wert für v ausgerechnet hat: Es kommt etwa die halbe Lichtgeschwindigkeit heraus. Eigentlich muss man relativistisch rechnen. Zum Beispiel ist die Masse des Elektrons bei dieser Geschwindigkeit deutlich größer. Was bedeutet das für das Ergebnis?