Wie man Wellenlängenunterschiede in Frequenzunterschiede umrechnet

 Aufgabe: Die Feinstrukturkomponenten der Linie Ly  haben einen Abstand von 0,04 nm.

Welche Energiedifferenz haben die beiden 2 p-Niveaus, die einmal mit j=1/2 und einmal mit j=3/2 besetzt sind?

FALSCHE Lösung:

0,04 mnm direkt in eine Energiedifferenz umrechnen, z.B. in dem man in c= λ * f die 0,04 nm für die Wellenlänge einsetzt und daraus den Frequenzunterschied  bestimmt.

Wenn man das macht erhält man 7,5*10^18 Hz...viel zu viel, die Energie dazu wäre 31 keV....das passt nicht zu einem H-Atom mit der Ionisierungsenergie 13,6 eV!

Was hat man falsch gemacht?

Wellenlänge und Frequenz stehen in keinem linearen Zusammenhang. Nur dann hätte man Differenzen in Differenzen umrechnen können.

Wir machen es mal für 6.Klässler:

Quadratischer Zusammenhang:

2² = 4, 3²=9, aber 9-4 = 5 ist nicht gleich  (3-2)² = 1 

Linearer Zusammenhang (verdoppeln):

Dagegen gilt: 10=2*5 und 12 = 2*6 bedeutet 12 - 10 = 2* (6-5)...da passt es, weil es eben linear ist.

Ganz oft kommen aber nichtlineare Formeln vor.

 

Vorgehen, das immer funktioniert:

Die Ly α - Linie liegt bei 121,6 nm. Nehmen wir an, das ist die linke Komponente. Dann hat die rechte Komponente die Wellenlänge 121,64 nm!

Nun rechnet man für jede Wellenlänge entweder gleich die Energie oder erst die Frequenz und dann mit E = h*f die Energie aus.

Diese beiden Energien zieht man voneinander ab.

Man erhält: 0,003345 eV...,das passt schon eher

 

Professionelles Vorgehen:

Wir gehen von der Gleichung c = λ*f aus.

Diese stellen wir nach f um:

f = c * 1/λ 

Da wir Änderungen (Untershchede) haben wollen, differenzieren wir:

df/d λ = c * (-1/λ²)

Dann lösen wir nach df auf:

df = - c/λ² * dλ 

 Mit dieser Formel können wir Wellenlängendifferenzen d λ in Frequenzdifferenzen df umrechnen.

Wir setzen 121,6 nm für λ und 0,04 nm für dλ ein und erhalten für df = 811,5 Ghz.

Damit erhaltern wir 0,003347 eV.

Die kleine Abweichung ist ohne Probleme, denn wir arbeiten in beiden Fällen mit linearen Näherungen für eine Hyperbel. Deshalb kann man auch die Wellenlängen anders wählen, also mit der größeren rechnen...

Die Feinstruktur in der K-Schale beträgt also 3,3 meV!

 

Will man Frequenzunterschiede in Wellenlängenunterschiede umrechnen, dann stellt man so um:

 λ= c * 1/f, differenziert dλ /df und erhält dλ = -c/f² * df