P107: Kochkurs für Physiker?

 Teil 7: Eingesperrte Quanten

19. Potenzialtöpfe

19.1 Gekocht wird mit stehenden Wellen

Nun denken wir nicht mehr über Modelle und Realität nach...wir haben Rezepte, wie wir was behandeln können: Strahlen, Teilchen, Wellen...und wenn wir mit Wellen arbeiten, dann machen wir das ohne über deren Interpretation nachzudenken...denn die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeitswellen machen all das,was Wellen immer so tun...

In E2 und Q2 haben wir schon mehrmals mit Schall, Mikrowellen und Wasserwellen stehende Wellen erzeugt. Bei Musikinstrumenten waren sie ein wichtiger Aspekt.

Auf der Zusatzseite habe ich die Grundkenntnisse zusammen gefasst. Es wäre gut, da noch einmal drüber zu schauen...

Stehende Wellen

- Immer, wenn eine Welle reflektiert wird, bildet sich vor der Wand eine stehende Welle. Ob an der Wand ein Knoten oder ein Bauch entsteht, hängt davon ab, ob die Welle mit oder ohne Phasensprung reflektiert wird, also wie "fest" die Wand für die Welle ist. 

- Gibt es zwei gegenüberliegende Wände, so laufen die Wellen hin- und her. Zu einer dauerhaften Schwingungsausbildung zwischen den Wänden kommt es nur, wenn Wandabstand L, Wellenlänge λ  und Ausbreitungsgeschwindigkeit c aufeinander abgestimmt sind.

Wir nehmen nun nur den Fall an, dass sich an den Wänden ein Knoten bildet. Dann können wir anschaulich sagen: Ein Vielfaches einer halben Wellenlänge muss zwischen die Wand passen:

 L = n* λ/2, n = 1,2,3

Die verschiedenen möglichen stehenden Wellen kann man dann auch als Schwingungen auffassen: Wir kennen Grund- und Oberschwingungen.

(Eine genaue Untersuchung zeigt, dass bei Musikinstrumenten das Modell der sich ausbildenden stehenden Wellen nicht zurtrifft, es sind hin- und herlaufende Wellenpakte, die den Ton erzeugen...aber das soll nur der Vollständigkeit halber erwähnt werdne...fürs Abi reichen stehende Wellen aus....)

19.2 Die ersten Töpfe

Nun sperren wir Quanten ein, d.h. begrenzen die Ausbreitung der Wahrscheinlichkeitswelle.

 Das sieht aus wie ein Topf...deshalb spricht man vom Potenzialtopf.

In dem wird nicht gekocht, sondern dort werden Quanten eingesperrt. 

Ich kann euch für eure Küchenausrüstung die folgenden Modelle anbieten: 

zu real für Physiker/innen, geschirr24

 

viel zu kompliziert fürs Abi  (wiki common)

 

schon besser...aber da kommt man ja raus (wiki common)

 

ideal, unendlich hoch, fängt bei 0 an...leifiphysik

Wie sieht das praktisch aus?

Für Photonen brauchen wir Spiegel...

Da kommen wir bald beim Laser drauf zu sprechen.

Für Protonen gibt es Wände aus der starken Kraft im Atomkern:

 

wikipdia common

Für Elektronen basteln wir Wände aus Kräften, also aus elektrischen Potenzialen. In der graphischen Darstellung ist das (abstoßende) Potenzial links und rechts unendlich hoch und dazwischen 0.

Dass wir das Potenzial im Topf zu 0 annehmen, ist besonders schön, denn dann ist die kinetische Energie gleich der  Gesamtenergie.

Wir werden noch eine andere Art kennenlernen, Elektronen einzusperren...nämlich durch Magnetfelder. Das geschieht bei Neutronensternen.

Mit all diesen Einsperrmöglichkeiten kann man wunderbar Aufgaben zusammenbasteln. Ich bemühe mich euch zu zeigen, dass sie auch interessante Folgerungen ermöglichen.

Auf alle Fälle können wir sagen:

Sperre ich Quanten oder Töne ein, so können nur noch bestimmtte Dinge passieren:

Nur bestimmte Töne bleiben hörbar. Quanten können nur bestimmte Energien besitzen.

Da kommt eigentlich der Name Quantenmechanik her:

Eingesperrte Quanten haben nur noch bestimmte Energien als Möglichkeiten, sie können nicht mehr mit jeder Energie auftreten. 

Ein Klavier kann auch nicht jeden Ton erzeugen...

Beim Casimir-Effekt haben wir das schon kennengelernt:  Metallplatten in einem Vakuum reduzieren die Anzahl der möglichen Vakuumfluktuationen, erzeugen also ein "besseres" Vakuum zwischen den Platten....

19.3 Linearer Potenzialtopf mit unendlich hohen Wellen

Nun seid ihr dran!

Wir nehmen den Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden und der potenziellen Energie 0 am Boden.

Aufgabe 1:

Qualitative Begründung suchen, wieso ein dort eingesperrtes Elektron nur noch bestimmte (kinetische) Energien haben kann.

Das hat was mit Wellen zu tun...mit stehenden Wellen und dem französischen Prinzen...

Formuliert es mal maus...

Aufgabe 2:

Erläutert die Formeln: 

(1)  L = n* λ/2, n = 1,2,3  (wir nennen sie die Quantenbedingung)

(2) λ = h/p (wir nennen sie die Wellenbedingung)

(3) E = 1/2 * m* v² = p²/(2m) (wir nennen sie die Energiebedingung)

Aufgabe 3:

Zeige, dass die Energie eines in unserem Potenzialtopf eingesperrten Elektrons nur die Werte

 E(n) = h²/(8mL²) * n²

annehmen kann.

Aufgabe 4:

Berechne für L = 0,5 nm einige dieser Energien und stelle sie in einer Energieleiter dar.

Energieleiter nach Leifiphysik

Aufgabe 5:

Schreib einen erklärenden Text zu diesem Bild:

leifiphysik