P123: Der Virialsatz

 21.6 Der Virialsatz

Wir haben bisher erhalten:

Kinetische Energie des Elektrons im Wasserstoffatom:

Wkin = 1/2*k*e²/r

Potenzielle Energie des Elektrons im Wasserstoffatom:

Wpot = - k*e²/r

Man erkennt sofort:

Wkin = - 1/2*Wpot

oder 

Wpot = -2 Wkin

Dieser Zusammenhang ist genau so grundlegend wie Energie- und Impulserhaltungssatz, man nennt ihn den Virialsatz. Er wurde 1870 von Rudolph Clausius im Rahmen der Thermodynamik formuliert.

Streng genommen gilt er nur für die zeitlichen Mittelwerte der Energien.

Das ist für uns aber unwichtig, da die Energien eines Elektrons konstant sind (wenn es in seinem Energiezustand bleibt).

Deswegen können wir in Zukunft ganz einfach aus der kinetischen Energie die potenzielle Energie ausrechnen, ohne Potenzialbegriff, ohne Integrieren...nur *2 und ein Minus davor...

Ihr müsst nur den Satz angeben und erwähnen, dass er in einem abgeschlossenen stabilen System gilt. Und das ist ja ein Wasserstoffatom, so lange kein Photon reinfliegt und  das Elektron auf einen höheren Zustand zwingt.  Aber auch dort gilt dann wieder der Virialsatz, nur für andere Werte.

In jedem abgeschlossenen System, dessen Potenzial mit 1/r, d.h. dessen Kraftwirkung mit 1/r² abnimmt, ist Wpot = -2*Wkin.

Fertig.

Zwei Ergänzungen:

Zwicky hat 1935 den Virialsatz auf Galaxienhaufen angewandt. Da er die Geschwindigkeiten direkt über den Dopplereffekt messen konnte, war er in der Lage die Massen zu bestimmen...und die lagen bis zu 6 mal höher als diejenigen, die man sehen konnte. Das war die Entdeckung der Dunklen Materie.

Hier könnt ihr mehr darüber lesen:

Virialsatz, Dopplereffekt und Dunkle Materie 

 Ihr seht, der Virialsatz ist schon ein Schwergewicht unter den Sätzen der Physik.

Man kann ihn natürlich auch, wenn auch aufwändig, allgemein beweisen (im Gegensatz zum Energieerhaltungssatz....).

Dann erhält man die Form:

2* Wkin = p * Wpot

Dabei ist p der Exponent des Potenzialgesetzes.

Anwendung: Schwingende Feder

Bei einer Feder ist die potenzielle Energie Wpot = 1/2*D*x², da ist p=2 und der Virialsatz ergibt für eine Feder (D ist die Federkonstante in N/m):

Wkin = Wpot

1/2*m*v² = 1/2*D*x²

Damit habt ihr in EII schon gerechnet...Bei einer schwingenden Feder ist die kinetische Energie im Nulldurchgang so groß wie die potenzielle Energie im Umkehrpunkt.

Damit hätten wir das auch wiederholt....

Hier noch mein Notizzettel dazu...

 

Ergänzungen und Vertiefungen:

Post über den Virialsatz in meinem Physik Blog auf meiner Homepage:

 Mehr zum Virialsatz

Zur Anwendung des Virialsatzes bei der Entdeckung der Dunklen Materie steht ein Post in meinem Astronomie-Blog:

 https://astronomiekassel.blogspot.com/2021/02/dopplereffekt-in-der-astronomie-xi-wie.html