P111: Ein Gefängnis aus einem Magnetfeld

  19.6 Landau-Niveaus

 Auch Magnetfelder können Elektronen einsperren.

   19.6.1 Das Fadenstrahlrohr

Vor einem Jahr haben wir einen Versuch besprochen, bei dem ein Elektronenstrahl in ein sehr verdünntes Gas geschossen wurde, das durch ein Magnetfeld durchsetzt war..

Dabei gab es die folgenden Fälle:

a) Elektronen bewegen sich entlang der Magnetfeldlinien

In diesem Fall wirkt keine Kraft und der Strahl geht geradeaus weiter.

b) Elektronen bewegen sich senkrecht zum Magnetfeld.

Es entsteht eine kreisbahn. Wir haben damals gelernt, wie man aus dem Bahnradius das Verhältnis e/m berechnen kann.

Den Fall werden wir gleich behandeln.

c) Elektronen bewegen sich schräg zum Magnetfeld

Es entsteht eine Schraubenbahn.

Hier könnt ihr euch das in einer Simulation ansehen:

Bewegung eines Elektrons im Magnetfeld 

Wir haben damals gelernt, wie man aus der Geschwindigkeitskomponente parallel zum Magnetfeld die Ganghöhe der Schraube berechnen kann.

Berechnung der Ganghöhe 

Uns interessiert hier nur Fall b). 

Eine Kreisbahn erfordert eine Zentralkraft F = m*v²/r.

Das kennen wir auch aus der Newtonschen Modnrechnung in EI, aber auch von der e/m-Bestimmung aus Q1.

Dabei ist v die Tangentialgeschwindigkeit (Bahngeschwindigkeit) und r der Radius des Kreises.

Im Magnetfeld stellt die Lorentzkraft Fl = q * v* B die Zentralkraft dar. Diese Formel gilt nur, wenn v senkrecht auf B steht (B ist die Magnetfeldstärke). q ist hier  die Elektronenladung e.

Das hatten wir Anfang Q2.

Wir haben also die Kraftformel F = e*v*B = m*v²/r, jetzt ist m die Ruhemasse des Elektrons.

Warum "sehen" wir den Elektronenstrahl?

Das hatten wir in Q1: Die Elektronen stoßen Gasatome an und bringen sie zum Leuchten. Diese Leuchtspur ist viele Größenordnungen größer als eine mögliche Elektronenbahn (die es ja so nach der UBR nicht gibt).

Hier noch Bilder zum Versuch:

wikipedia common

Die Elektronen werden durch einen Kondensator beschleunigt: q*U = 1/2*m*v² hat uns damals gestattet, v auszurechnen (brauchen wir jetzt nicht).

Kreis"bahn" der Elektronen im Magnetfeld.

 19.6.2 Gigantische Magnetfelder erzeugen winzige Bahnen

Die Radien der Kreise liegen bei etwa 10 cm, da fühlen sich die winzigen Elektronen auch nicht besonders eingesperrt.

Das liegt an den sehr schwachen Magnetfeldern: B = 1...2 mT.

In der Nähe von Neutronensternen (Pulsare) treten Magnetfelder von etwa 1 GT auf (das sind 12 Zehnerpotenzen mehr...). Da sind die Bahnradien so groß wie Atome...und schon verhalten sich die Elektronen als wären sie in einem Potenzialtopf eingesperrt und nehmen gequantelte Energiezustände ein.

Diese Energiezustände heißen Landau-Niveaus, benannt nach Lew Landau (1908-1968), der sie 1930 vorhergesagt hatte (den Nobelpreis erhielt er für andere Arbeiten).

 

 

 

 

 

wikipedia common

 

2012 wurden sie erstmals bei irdischen Magnetfeldern auf Halbleitern sichtbar gemacht.

 

University of Warwick

Inzwischen beobachtet man bei Neutronensternen  Emissionslinien im Röntgenbereich, die man über Quantensprünge zwischen Landau-Niveaus erklärt. Damit bestimmt man die Stärken der Magnetfelder eines Neutronensterns.

Welt der Physik

 19.6.3 Quantensprünge im Magnetfeld

Löst bitte die folgende Aufgabe:

a) Zeige, dass  für die Energieterme von auf sehr engen Kreisbahnen im Magnetfeld laufenden Elektronen gilt:
 E  = h/(4π) * e*B / m  * n (Landau-Niveaus) n= 1,2,3,4...

b) Bei Neutronensternen treten Magnetfelder mit B = 1 GT auf. Berechne die Größe der
ersten drei Energieniveaus in keV. 

c) Vergleiche die Quantenzustände in einem solchen „Landau –Atom“ mit denen eines
  linearen Potenzialtopfs (E  = h²/(8mL²) * n²).
d) Berechne die Wellenlängen des  Übergangs von n= 3 auf n=2 im
Landau-Atom (B = 1 GT)  sowie im linearen Potenzialtopf (L = 1 nm). 

e) Welche Ausdehnung haben Landau –Atome?

Hinweise:

Wir haben die folgenden Ausgangsgleichungen:

Quantenbedingung: L =2πr = n* λ ,  n= 1,2,3

   Achtung: Wir haben Kreisbahnen, da passen nur ganze Wellenlängen geschlossen drauf. Zeichnet das mal auf.

Wellenbedingung: λ = h/p = h/(m*v)

Energiebedingung: E = 1/2*m*v²  (in Magnetfeldern gibt es keine potenzielle Energie).

Hinzu kommt hier eine

Kraftbedingung: F = e*v*B = m*v²/r

(Im Potenzialtopf war ja die potenzielle Energie Innen durchgehend gleich 0, also gab es keine Kraft)

Durch geschicktes Einsetzen der Gleichungen ineinander  erhaltet ihr die gesuchte Formel für E.

Der Rest ist Einsetzen von Zahlen und Ausrechnen...