P108: Lösungen

 Lösungen:

 Aufgabe 1:

Qualitative Begründung suchen, wieso ein dort eingesperrtes Elektron nur noch bestimmte (kinetische) Energien haben kann.

An den Wänden muss die Auslenkung der Wellen immer 0 sein. Deshalb können sich nur stehende Wellen als stabile Schwingungsmuster ausbreiten. Zu jeder möglichen Wellenlänge gehört ein Teilchenimpuls p und damit eine bestimmte kinetische Energie. Da es keine anderen Wellenlängen gibt, ist auch keine andere Energie möglich. Die Energie ist gequantelt.

Aufgabe 2:

Erläutert die Formeln: 

(1)  L = n* λ/2, n = 1,2,3  (wir nennen sie die Quantenbedingung)

Das ist die Bedingung für eine stehende Welle auf einem Seil der Länge L bei zwei festen Enden (Knoten)

(2) λ = h/p (wir nennen sie die Wellenbedingung)

Nach de Broglie wird jedem Impuls p eine Wellenlänge zugeordnet.

(3) E = 1/2 * m* v² = p²/(2m) (wir nennen sie die Energiebedingung)

Das ist die einzige Energieform, die das eingesperrte Teilchen annehmen kann, eine kinetische Energie. 

Da p = m*v ist, können wir v = p/m ersetzen.

Aufgabe 3:

Zeige, dass die Energie eines in unserem Potenzialtopf eingesperrten Elektrons nur die Werte

 E(n) = h²/(8mL²) * n²

annehmen kann.

 Wir fangen mit der Energiebedingung an, denn wir wollen ja eine Energie ausrechnen: E = p²/(2m).

 Wir ersetzen mit Gl. (2) p = h/λ das p in der Energiebedingung: E = h²/(2mλ²)

Wir ersetzen das  λ mit Gl.(1) durch λ = 2L/n

Achtung richtig quadrieren!

Dann fassen wir zusammen und erhalten die Formel.

Merkt euch das Rezept!

Aufgabe 4:

Berechne für L = 0,5 nm einige dieser Energien und stelle sie in einer Energieleiter dar.

Ergebnis: 2,4*10^(-19) J *n²= 1,5 eV* n²

Dann  ergeben sich die folgenden Werte: 

n    1     2      3        4        5 

E 1,5    6,1   13,8   24,4   38,2  eV

Die Abstände der Leitersprossen werden mit wachsendem n immer größer.

Aufgabe 5:

Schreib einen erklärenden Text zu diesem Bild:

leifiphysik

Links sind im Potenzialtopf nicht maßstäblich korrekt Energiestufen eingezeichnet. Rechts sieht man die zugehörigen stehenden Wellen.

n=1 ist die Grundschwingung, n=2 die erste Oberschwingung usw.

Interessant ist: Es gibt in diesem Potenzialtopf keine Energie E = 0! Die Energie E1 für n=1 ist der sog. Grundzustand. Dem kann man keine Energie mehr wegnehmen. Somit besitzt auch das Vakuum in seinem Grundzustand eine Energie.