117 Bohrs großer Wurf...ins Leere?

 21.3 Bohrsche Postulate

Wir kommen nun zum krönenden Abschluss des deutschen Physikunterrichtes: Das Bohrsche Atommodell aus dem jahr 1913..., nein, denn eigentlich hat Bohr nur ein funktionierendes Modell für Wasserstoff entwickelt, auf andere Atome war es nicht anwendbar.

 

Aber dafür kann man die Wellenlängen des Lichtes von atomaren Wasserstoff ausrechnen...Und das war der große Erfolg von Niels Bohr (1885 - 1962). Dafür gab es dann 1922 den Nobelpreis.

21.3.1 Die Vorgeschichte

Rutherford hat durch seine Streuversuche gezeigt, dass sich die positive Ladung eines Atomes in einem sehr kleinen Atomkern befindet. Die Elektronen müssen weiter außen sein.

Aber wo und wie?

Eine ideale Vorstellung wäre, dass die Elektronen um den Atomkern kreisen, so  wie die Planeten um die Sonne.

Die Analogie passt: Gravitationsgesetz und Coulombsches Gesetz sind wesensgleich und man kann die Newtonsche Mechanik auf die Elektronen anwenden. Man muss nur die Gravitationskraft durch die elektrische Kraft ersetzen:

F = G * M * m / r²  wird zu F = k * Q * q/r².

Dabei tauchen zwei Probleme auf:

Welche Bahnen kann denn ein Elektron einnehmen? Planeten können im Prinzip ihn jedem Abstand ihren Stern umkreisen.

Wenn Elektronen in jedem beliebigen Abstand um die Atomkerne kreisen würden, dann könnten sie jede beliebige Energie besitzen und die Spektren der atomaren Gase beständen nicht aus Emissionslinien sondern vielleicht aus Farbbändern...

Wenn Planeten um die Sonne kreisen, dann verbiegen sie den Raum und senden Gravitationswellen aus. Diese sind aber so schwach, dass ein Planet ohne nenneswerten Energieverlust milliarden von Jahren um seinen Stern kreisen kann.

chemgapedia

 Wenn Elektronen um Atomkerne kreisen, dann sind das beschleunigte Bewegungen (Die Bahngeschwindigkeit ist zwar konstant, aber die Richtung ändert sich laufend. Wir haben ja sogar früher die Zentralbeschleunigung a= v²/r bestimmt (Newtonsche Mondrechnung)).

Sieht man die Kreisbahn von der Seite an, so sieht man eine Schwingung. Schwingungen elektrischer Ladungen kennen wir vom Dipol. Und der strahlt elektromagnetische Wellen EMW ab, besonders bei hohen Frequenzen.

Aufgabe: 

Ein Elektron umkreist in einem Abstand von 0,5 nm ein Proton. Wie groß ist die Umlaufsfrequenz?

Man kommt auf 227 THz!

(Lösung am Ende)

Und so müsste es auch den Elektronen gehen, die um Atomkerne kreisen: Sie würden ständig nach den maxwellschen Gleichungen EMW abstrahlen.

Man kann ausrechnen, dass der Energieverlust extrem hoch wäre (ganz im Gegenteil zu den Gravitationswellen). Innerhalb einer hundertmillionstel Sekunde hätte das Elektron seine gesamte Energie abgestrahlt und würde in den Atomkern stürzen.

Alle Atome würden in Bruchteilen einer Sekunde zusammenstürzen. Verdammt schnell für uns...

Kann also nicht sein...

Die Existenz der Atome widerspricht der klassischen Physik des Elektromagnetismus.

Und hier kommt nun Bohr, der das Problem auf eine seltsame Weise löst.

 

Aber hier erst einmal die Lösung zur Rechenaufgabe (ist eine gute Übung fürs Abi...):

Die Coulombkraft ist hier die Zentralkraft:

m*v²/r = k * Q * q /r²

Dabei ist v die Bahngeschwindigkeit des Elektrons, m seine Masse und r der Abstand vom Proton. Wir setzen Q = e und q = e, da Proton und Elektron gleich stark geladen sind.

Diese Formel stellen wir um:

v² = k * e²/(m*r)

Damit erhalten wir v = 712 km/sec.

Nun gibt es zwei (letztlich identische) Wege, die Umlaufsfrequenz zu erhalten:

Winkelgeschwindigkeit aus v =  ω *r berechnen und da  ω = 2* π  *f ist, erhält man damit die Umlaufsfrequenz f.

Man kann auch die Umlaufsperiode P = 2* π  *r / v ausrechnen und erhält die Frequenz als Kehrwert

 f = 1/P.

Heraus kommen die angegebenen 227 THz.