Herleitung der Braggschen Formel

 Interferenz an Schichten (Bragg-Formel)

Diese Formel wird sowohl bei der Elektronenbeugung an Kristallen als auch bei der "Reflexion" von Röntgenstrahlung verwendet.

1912 hat William L.Bragg eine Formel entwickelt, mit der man Interferenzmaxima bei der Reflexion von Wellen an dreidimensionalen Gittern  (z.B. Festkörperkristalle) berechnen kann.

Dabei sind die Gitterebenen (Netzebenen) regelmäßig im Abstand d angeordnet.

An jedem Atom wird die Welle gestreut, d.h. auf alle Richtungen verteilt. Nur in einer einzigen Richtung verstärken sich alle Wellen von allen Atomen. Es sieht so aus, als wäre der Strahl reflektiert worden, es ist aber ein Interferenzmaximum.

Für jede andere Richtung gibt es zu jeder Welle immer eine die gegenphasig verläuft. Dort wird nichts hingestrahlt.

wikicommon

Die Herleitung der Formel ist einfach.

Wir nehmen zwei von  unterschiedlichen Atomen gestreute Strahlen:

Uni Wuppertal

 Der Winkel θ ist der Winkel relativ zur Oberfläche des Kristalls. Er taucht in den beiden (eingekreisten) Dreiecken auch oben an den Spitzen auf: Ein Strahl steht senkrecht zum Lot auf den anderen Strahl und die Verbindungslinie der beiden Netzebenen steht senkrecht zur Oberfläche.

Es liegt also der Fall vor, dass die Schenkel zweier Winkel (beim Einfall und im Dreieck) paarweise senkrecht aufeinander stehen, also gleich sind.

Dann kann man sin θ bilden:

Die Gegenkathete ist der jeweils in dem  Dreieck entstehende Gangunterschied Δx und die Hypotenuse der Abstand d

 sin θ =  Δx/d

In jedem Dreieck erhält man also   Δx = d*sin θ

Das Ganze passiert zweimal...also ist der gesamte Gangunterschied   Δx = 2 * d * sin  θ

Und der muss ein Vielfaches der Wellenlänge sein...

Da haben wir sie, die berühmte Bragggleichung:

   n* λ  = 2d*sin θ

 Eine sehr schöne Erklärung mit Animation gibt es bei Leifiphysik:

Bragg-Formel 

Für einen bestimmten Gitterabstand d müssen also Wellenlänge und Einfallswinkel (auch Glanzwinkel genannt) zueinander passen.

Entweder lässt man Strahlung mit verschiedenen Wellenlängen auftreffen. dann erhält man nur bestimmte Wellenlängen  in bestimmten Richtungen.

Oder man hat nur eine Wellenlänge, dann muss man aber über ein Kristallpulver alle möglichen Richtungen "anbieten", um eine Interferenz zu sehen.

Das spielt in der Röntgenanalyse eine wichtige Rolle.

Klatsch und Tratsch:

Die Bragg-Gleichung wurde von Vater und Sohn Bragg 1912 entwickelt und zur Röntgenstrukturanalyse angewendet. Beide bekamen dafür gemeinsam den Physik-Nobelpreis 1915.

 

Vater: William Henry Bragg (1862 - 1942)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sohn: William Lawrence Bragg (1890 -1971)