P110: Der "echte" Potenzialtopf

    19.5 Linearer Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden

Wir werden  bald Modelle für Atome entwickeln und durchrechnen. Die positive Ladung der Atomkerne sperrt auch die Elektronen ein, das elektrische Potenzial ist nur nicht rechteckig geformt und hat auch keinen unendlich hohen Wände.

Dazu werden wir noch alle unsere Kenntnisse aus der Potenzialtheorie der Q1 gebrauchen müssen...

Aber vorher eine allgemeinere Betrachtung:

Wenn der Potenzialtopf (und wir bleiben jetzt bei unserer Rechteckform) keine unendlich hohen Wände hat, dann bilden sich keine stehenden Wellen aus.

Die Berechnungen gestalten sich dann äußerst schwierig.

Man muss die Wellengleichung (in dem Fall die Schrödinger Gleichung) lösen und überprüfen, ob die "Wellenfunktionen", die man als Lösung erhält, normierbar sind, d.h. sich die Wahrscheinlichkeit 100% ergibt, wenn man die Welle im gesamten Universum  (praktisch reicht die Atomumgebung aus) aufsummiert.

Dann merkt man, dass sich wieder nur bestimmte Wellenlängen im Potenzialtopf ausbreiten können und diese auch zu gequantelten Energien führen.

Also, das Ergebnis bleibt, aber der Weg dahin wird schwer und für uns nicht durchführbar.

Deswegen sollte man die anschauliche Idee der stehenden Elektronenwellen in Atomen nicht überstrapazieren...präzisen Überprüfungen hält sich nicht stand...aber für Schule und Abitur ist sie ausreichend...

nach Physik Uni Wuppertal

Im Bild rechts sieht man den Potenzialtopf mit endlich hohen Wänden und die Wellenfunktionen, die sich aus der Lösung der Schrödingergleichung ergeben.

Man erkennt folgendes:

- Die Form der Welle ist nicht mehr die einer stehenden Welle, es ist keine Sinusfunktion.

- Die Auslenkungen laufen in die Wände hinein. das kennen wir aus Q2, das sind die evaneszenten Wellen, die zum Tunneleffekt führen (Stichwort verhinderte Totalreflexion)

- Manchen Wellen sieht man an, dass sie nach außen ansteigen und somit Gesamtwahrscheinlichkeiten von über 100% ergeben. Diese Wellen können also keine Elektronen im Potenzialtopf beschreiben. Diese Lösungen lässt man fallen.

Hier die drei ersten Zustände, die normierbar sind:

Physik HU Berlin
Man erkennt schön das exponentielle Abfallen innerhalb der Wände und die einem Sinus ähnlichen Formen innerhalb des Topfes.


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