Kanonische Quantisierung oder lieber erzeugen und vernichten?

 Hier möchte ich kurz die Rezepte darstellen, wie man Felder in der Quantenmechanik behandelt.

Ich erkläre da nichts, sondern zeige nur den Ablauf der Ideen auf. Wer Physik studiert und sich auf Theorie spezialisiert, wird das in höheren Semestern lernen auch auszuführen.

Herleiten kann man es eh nicht... es sind Rezepte, die funktionieren...

Rezept 1: Erzeugen und Vernichten

Im,Potenzialtopf gibt es verschiedene Energieniveaus. Elektronen können diese wechseln.

Springt ein Elektron von einem höheren auf ein niedrigeres Energieniveau, so wird die Differenzenergie als Photon abgegeben.

 Das kann man auch durch eine Rechenanweisung beschreiben, die man Erzeugungsoperator (für Photonen) nennt.

Springt ein Elektron auf ein höheres Niveau, so wird es ein Photon absorbieren müssen, um die Energie zu haben. Das kann man durch einen Vernichtungsoperator (für Photonen) beschreiben.

Nun hat man die Mathematik und wendet sie auf die Photonen in einem elektrischen Feld an. Da springen keine Elektronen, aber die Operatoren erzeugen und vernichten Photonen, ändern also die Feldstärke gequantelt.

Fertig. Das Feld ist gequantelt.

Rezept 2: Kanonische Quantisierung

Kanonisch bedeutet hier: nach klassischem Muster vorgehend...

Wie geht man in der theoretischen Mechanik vor? Das ist das klassische Muster.

Das sind Verfahren, die seit 300 Jahren bekannt sind und angewendet werden, wegen ihrer anspruchsvollen Mathematik aber nie in der Schule angewendet werden.

Schritt 1: Man stellt die Langrangefunktion L auf, die das System beschreibt. In der Regel ist das die Differenz aus kinetischer Energie und  potenzieller Energie. Wenn man sie nicht weiß, rät man sie und guckt, ob es passt...

Schritt 2: Man bildet die kanonischen Impulse p für alle drei Raumrichtungen: p=dL/dv mit v = dx/dt, entsprechend für y und z

Schritt 3:Man bildet die Poissonklammern { ...}, das sind Rechenvorschriften, mit dennen man entscheiden kann, ob die Reihenfolge der Messung wichtig ist. Die Rechenvorschrift gebe ich nicht an.

Nun überträgt man das naheliegend auf die QM:

Schritt 1: L wird meistens übernommen

Schritt 2: Die kanonischen Impulse p  und die Orte (oft mit q bezeichnet) werden zu Rchenanweisungen, zu Operatoren.

Wie? Sinnvoll geraten...

Schritt 3: Man ersetzt die Rechenanweisung der Poissonklammern {...} durch eine Rechenanweisung  für Kommutatoren [ ... ]. Sind diese 0, existieren die in den Kommutatoren stehenden Eigenschaften und man kann sie unabhängig voneinander messen.

Durch die großen Buchstaben drückt man aus, dass es sich um Orts- und Impulsoperator, nicht um x und p handelt.-
 Sind die Kommutatoren größer als 0, so sind die in ihnen stehenden Größen unbestimmt und existieren nicht: [x,p] = i*h, das ist die UBR von Heisenberg!

Fertig!

Warum stimmt das?

Weil es funktioniert...