Doppelspalt, einfaches Modell

 Theorie für den einfachen Doppelspalt

Wir haben den Doppelspalt in E2 bei Schall- und Wasserwellen behandelt und in Q2 wiederholt und ergänzt bei Mikrowellen.

Deshalb hier nur kurz die wesentlichen Grundlagen.

(Lernende, die nicht bei mir im LK sind, sich aber auf das Abitur vorbereiten wollen, sollten sich anhand ihrer Physikbücher oder des eigenen Unterrichts intensiver mit dem Doppelspalt beschäftigen)

 Ein Doppelspalt besteht aus zwei rechteckförmigen Blenden (Spalte). In der einfachen Theorie werden die beiden öffnungen mit Licht bestrahlt, das in beiden Öffnungen Elementarwellen erzeugt, die gleichphasig und mit gleicher Amplitude ausgesandt werden.

aus Wikipedia

Die beiden Wellen überlagern sich, da sie gleiche Frequenzen haben, gibt es ein stabiles Interferenzbild:

Überall dort, wo Wellenberge auf Wellenberge (und eine halbe Periodendauer später) Wellentäler auf Wellentäler treffen, gibt es Interferenzmaxima.

Dazwischen liegen Gebiete, in denen die Wellen immer gegenphasig zusammenkommen (Berg auf Tal), das sind die dunklen Stellen, die Interferenzminima.

Universität Oregon

 

Auf einer Leinwand, parallel zum Doppelspalt, kann man sich das Interferenzmuster ansehen.

 

In der Skizze blicken wir aus großem Abstand auf den Doppelspalt (den wir gar nicht als solchen erkennen). Die beiden von den Spalten ausgehenden Lichtstrahlen scheinen aufeinander zu fallen.

 

Deshalb erkennt man:

tan α = aₙ/e, dabei ist aₙ der Abstand z.B. des n-ten Maximums vom 0.Maximum in der Mitte, gemesen auf dem Schirm. e ist der Abstand zwischen Schirm und Doppelspalt.

Die Interferenz entsteht, weil der Weg auf den beiden Strahlen unterschiedlich lang ist.

Wir nennen Δx = x₂ - x₁ den Gangunterschied der beiden Strahlen.

Beim 0.Maximum in der Mitte ist Δx = 0*λ = 0

Beim n-ten Maximum gilt: Δx = n*λ 

Für die Minima muss der Gangunterschied ein ungradzahliges Vielfaches von  λ/2 sein  (bei einem geradzahligen Vielfachen liegen ja die Maxima): Δx = (2n-1)*λ/2

Um eine Formel für den Gangunterschied zu finden, müssen wir in das Bild oben hineinzoomen.

 Die Winkel im oberen und unteren Bild sind gleich ("paarweise senkrecht aufeinander stehende Schenkel").

 Dann erkennen wir die beiden Spalte und können annehmen, dass die beiden Strahlen, die zum Maximum oder Minimum führen parallel verlaufen.

Man  erhält den Gangunterschied durch das Lot von einem Spalt auf den anderen Strahl.

Gleichzeitig ergibt sich auch die zweite Formel, die wir benötigen:

 sin α = Δx/d, dabei ist d der Spaltabstand.

Kleinwinkelnäherung:

Für Winkel unterhalb von 10° kann man sin α und tan α gleichsetzen und erhält eine Formel für den Abstand der Maxima oder Minima (Δx einsetzen):

  a = Δx/d * e

Beobachtungen und ihre Erklärungen:

Mit dieser Formel kann man sich einige Beobachtungen gut klar machen (haben wir mit Schall- und Wasserwellen in E2 gesehen bzw. gehört):

1) Je enger die Öffnungen beieinander liegen (d kleiner), desto größer sind die Abstände auf dem Schirm.

 Bei kleineren Objekten wird die Beugung stärker und das Interferenzbild geht auseinander. 

2) Je weiter der Schirm weg ist, desto größer sind die Abstände auf dem Schirm. Das ist ein reiner Projektionseffekt und irgendwie logisch...kennt man von Leinwand und beamer...

3) Je kleiner die Wellenlänge ist, desto kleiner sind die Abstände auf dem Schirm ( λ steckt im
Δx). 

Kurzwellige Wellen werden weniger gebeugt.

Das sieht man sehr schön an diesen beiden Simulationen Unkelbach:

 Hier ist unten der Intensitätsverlauf dargestellt (in Abhängigkeit vom Winkel, ginge aber auch in Abhängigkeit vom Abstand na auf dem Schirm)

 

  4) Die Anzahl der Maxima ergibt sich aus dem Spaltabstand d: Für Δx= d ist der sin α = 1 und der Winkel somit 90°. Teilt man also d durch λ, so erhält man die höchste Ordnung nmax, die man noch als Maximum erkennen kann. Dann gibt es insgesamt 2*nmax +1 Maxima. Der Faktor 2 entsteht, weil auf beiden Seiten des 0.Maximums Maxima sind, und das +1 ist das 0.Maximum, das man gerne im Abi vergisst!

Aufgabe:

Bestimme die Anzahl der Maxima von rotem Licht der Wellenlänge 650 nm, wenn die beiden Spalte 0,1 mm Abstand haben.

5) Mit den Formeln kann man Wellenlängen bestimmen, man muss nur d (Mikroskop), a und e kennen (Lineal).

Das haben wir in E2 und Q2 oft gemacht.