P 89: Reprise Spaltversuche

 15.3 Ortsbestimmung mit einem Spalt

Natürlich können Ortsmessungen mit einem Spalt die UBR nicht austricksen...

Wir wissen: je enger der Spalt, desto breiter das Beugungsbild.

Ihr erinnert euch an meine Handbewegungen???? 

In einer Näherung wollen wir die Breite des 0.Maximums als Maß nehmen, d.h. den Abstand der beiden ersten Minima.

Schaut euch auch nochmal das Video an:

Hier erkennt man deutlich, wie das Beugungsbild auseinander geht, wenn der Spalt enger gemacht wird.

Bei ganz engem Spalt erfüllt das 0. Maximum die ganze Wand.

Was heißt das?

Durch den engen Spalt haben wir an einer Stelle des Raumes den Ort x des Lichtstrahles gut bestimmt, die x-Koordinate geht dabei entlang des Spaltes.  Aber sofort  geht das Licht alle möglichen Wege.

Wir werden  gleich sehen, was das mit der Impulsunbestimmtheit zu tun hat.

Da alle möglichen Orte zwischen den beiden ersten Minima vorkommen können, muss der Impuls p des Quants, der bisher nur senkrecht zur x-Richtung verliegt, eine Komponente in x-Richtung bekommen haben.

Wie, interessiert nicht.

 

Das erste Minimum beim Spalt liegt bei sin α = λ /D

D soll die Ortsunbestimmtheit  Δx sein.

Das Impulsdreieck ergibt ebenfalls 

tan α  = Δp/p

Wegen der Kleinwinkelnäherung geht auch:

 sin α  = Δp/p

Wir setzen die beiden rechten Seiten gleich und ersetzen D durch  Δx:

Damit erhalten wir:   Δp/p =   λ / Δx

bzw.    Δx*   Δp  =   λ *p

Für   λ setzen wir nun die de Broglie-Formel ein:   λ = h/p

Damit ergibt sich:    Δp*  Δx  = h

Da   Δp sogar größer sein kann, kann man = auch durch > ersetzen und erhält bis auf eine konstante Zahl die UBR von Heisenberg. Und wenn man D durch 2Δx ersetzt, kommt man sogar noch dichter ran.

Bitte schreibt euch die kleine Rechnung ausführlich in euer Heft!

Achtung: Das ist keine Herleitung der UBR. Die Herleitung geht nur über Fouriertransformationen zwischen Orts- und Impulsraum oder mittels Kommutatoren in der QM.

Was wir gemacht haben, ist zu zeigen, dass die UBR mit der Beugung am Spalt vereinbar ist. Damit haben wir den Abituraufgabenmachern ein schönes Gefühl für eine themenübergreifende Aufgabe gegeben.