P 158: Jetzt wird es formal...(K), aktualisiert 2.3.

 34. Herleitungen der Formeln

Ich habe mich bemüht möglichst einfache Herleitungen  zu notieren.

Geringfügig andere Wege kann mein bei Leifi nachlesen:

Herleitungen der Dopplerformeln leifi

Da Schall ein Ausbreitungsmedium besitzt, müssen wir zwischen der Bewegung des Senders und der Bewegung des Empfängers unterscheiden. Das ist bei Licht nicht der Fall. Da gibt es nur eine Dopplerformel für die Wellenlänge (kein Mensch misst Lichtfrequenzen...).

Bei Schall misst man oft Frequenzen, deshalb gibt man die Dopplerformeln dort für Frequenzen an: 

34.1 Bewegung des Senders S

34.1.1 Herleitung der Wellenlängenformel

Alle ungestrichenen Größen, wie T, beziehen sich auf den Sender, d.h. auf die ausgesandte Welle. Alle gestrichenen Größen wie T` beziehen sich auf den Empfänger, also auf die registrierte Welle.

Während einer Schwingungsperiode T des Senders soll er sich mit v auf den Empfänger zu bewegen. Er wird dann in dieser Zeit T die Strecke v*T zurücklegen.

Hat er vorher einen Wellenberg produziert, wird der nächste Wellenberg jetzt um v*t näher am Empfänger ausgesandt. Der Empfänger wird also eine um v*T verkürzte Wellenlänge messen.

leifiphysik

 

Nun schaut euch mal die Herleitung an. Man muss nur wenige Umformungen nachvollziehen.

Ich erkläre es auch in einem Video:

Die Formel ist leicht zu merken:

Die Wellenlängenänderung verhält sich zur Wellenlänge wie die Geschwindigkeit zur Wellengeschwindigkeit.

Zur Ergänzung:

Herleitung der Wellenlängenformel speziell für Licht

34.1.2 Frequenzformel

Letztendlich muss man die Wellenlängenformel in die Formel für die empfangene Frequenz einsetzen, mit f/f erweitern und nach f`auflösen.

 

34.2 Bewegung des Empfängers

Wenn man sich klar macht, was Frequenz bedeutet, dann gibt  c*t die Anzahl der Wellenberge an, die in der Zeit t vorbeiwandern (genauer gesagt ist diee Strecke ein Vielfaches der Wellenlänge). Somit muss v*t die zusätzliche Anzahl der Wellenberge beschreiben.

Damit ist f`= f + v/c *f  die Frequenz, die der bewegte Empfänger registriert.

Das Erklärvideo dazu:

34.3 Vergleich der Formeln

Bei Schall ist nicht alles relativ. Es kommt nicht auf die Relativgeschwindigkeit an, sondern man muss genau schauen, was sich bewegt, der Sender oder der Empfänger.

Für Licht ist das egal, da gibt es nur eine Formel: Δλ/λ = v/c. v ist dann die Relativgeschwindigkeit

Ganz deutlich wird das daran:

Wenn sich die Schallquelle mit Schallgeschwindigkeit von mir entfernt, höre ich immer noch etwas (mit halber Tonhöhe). Wenn ich mich mit Schallgeschwindigkeit entferne, laufe ich vor der Welle weg und höre nie etwas...

Macht euch diese Fälle an den Formeln klar:

leifiphysik

Wenn man die Frequenz gegen die Geschwindigkeit aufträgt, erkennt man:

- die jeweiligen Annäherungs- und Entfernungsfomreln gehen ineinander über.

- bei v = 0 enden alle Kurven bei der Sendefrequenz f

- zu bewegten Beobachtern gehören Geraden (steigend, fallend)

- zun bewegten Sender gehören Hyperbeln (gespiegelt).

- Auf alle Fälle hört man immer einen höheren Ton, wenn sich Sender und Empfänger annähern.

- Auf alle Fälle hört man immer einen tieferen Ton, wenn sich Sender und Empfänger entfernen.

- Aus der genauen Frequenzmessung kann man entscheiden, wer sich bewegt, der Sender oder der Empfänger.

Versucht diese Aussagen an den Formeln wieder zu erkennen. Das Angleichen der Formeln kann man durch sog. Reihenentwicklungen zeigen. Das ist nicht Teil des Schulstoffs.

34.4 Erste Übungen:

Aufgabe 1:

An einem schönen Sommertag bewegen sich Meereswellen mit einer Geschwindigkeit c=3,0 m/s und der Wellenlänge 15,0 m in Richtung Strand. Eine Anglerin befindet sich in einem ruhenden Boot.

 a) Welche Wellenfrequenz misst sie? 

b) Nach dem Lichten des Ankers entfernt sich das Boot mit einer Geschwindigkeit von v = 3,0 m/s vom Ufer weg. Wie groß ist die Wellenfrequenz nun? 

Aufgabe 2:

 Ein Auto entfernt sich mit 34 m/s von einem ruhenden Beobachter und hupt mit einer Frequenz von 400 Hz.

 a) Wie groß ist die Frequenz, die der Beobachter wahrnimmt? 

b) Mit welcher Geschwindigkeit erreichen ihn die Schallwellen? Begründe.

c) Wie groß ist die Dopplerfrequenz, wenn das Auto steht und der Beobachter sich mit 34 m/s vom Auto weg bewegt? 

Aufgabe 3:

v/c = 0,1. Zeige, dass bei bewegter Quelle f`/f = 10/9 und bei bewegtem Beobachter f`/f = 1,1 ist. 

Was gilt bei v/c = 1?

Aufgabe 4:

Alles ist relativ...

Wenn S sich von E fortbewegt, dann sieht es für S doch so aus als würde sich E von S fortbewegen.Man müsste doch einfach nur das Bezugssystem wechseln können und dann sollte alles wieder stimmen? Also f durch f`austauschen. Was muss man noch beachten?