P 143: Herleitung des Zerfallsgesetzes (K)

 23.2.3 Herleitung des Zerfallsgesetzes

Anmerkung: Wir rechnen mit den Differnzialen wie z.B. dt so als wären es reelle Zahlen. Mathematisch ist das korrekt, denn Differenziale sind Linearformen, die Vektoren auf reelle Zahlen abbilden. Das erleichtert Schreibweise und Argumentation und ist in der Physik üblich.

Zum Beispiel ist im Integral für die Arbeit

 

 

 

F* dx die längs des Weges dx durch die dort konstante Kraft F verrichtete Arbeit dW = F*dx. 

Genug der Anmerkungen.

Mit dN(t) bezeichnen wir die Anzahl der zur Zeit t im Zeitraum dt "zerfallenden" Kerne. Sie ist natürlich proportional zur Anzahl der vorhandenen, noch nicht zerfallenen, Kerne N(t) und dem betrachteten Zeitabschnitt dt.

Wir setzen noch ein Minuszeichen, da ja N(t) abfällt und führen die Proportionalitätskonstante λ ein.

Mit dem Verfahren der "Trennung der Variablen" machen wir diese Differenzialgleichung lösbar.

Die Lösung einer Differenzialgleichung ist immer eine Funktion. Hier ist es unser Zerfallsgesetz.

Ich zeige nur meine Rechnung, erklär es nicht noch einmal, da wir das in früheren Halbjahren oft behandelt haben.

Es kann in einer Prüfung auch sein, dass die Differenzialgleichung einfach angegeben wird. Dann muss man oft nur überprüfen, ob eine (gegebene) Funktion diese auch löst.

Das macht man, in dem man alle Ableitungen der Funktion bildet, die vorkommen, alles einsetzt und so lange umformt, bis eine wahre Aussage entsteht.

Wie üblich bezeichnet ein Punkt über der Funktion die zeitliche Ableitung, hier also dN/dt.

Manchmal ergibt sich daraus eine Formel für die Proportionalitätskonstante  der Differenzialgleichung.

Solche Fälle kommen beim Kondensator vor, aber auch bei Schwingungsfrequenzen.