P 135: Alles kugelig

  22.6 Dichteverteilung von Elektronen und Dunkler Materie

22.6.1 Orbitalmodell

Zuerst: Wer noch einmal eine Zusammenfassung ansehen will, dem empfehle ich dieses Video: https://studyflix.de:/chemie/orbitalmodell-276

Was versteht man nun genau unter einem Orbital (oft auch Schale oder Unterschale genannt):

Innerhalb der Orbitalfläche findet man das Elektron mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%.

In der folgenden Abbildung  (wikicommon) sieht man oben die Verteilung der möglichen Orte eines Elektrons bei mehrfacher Messung des gleichen Zustandes als Punktwolke, unten die zugehörigen 90%-Flächen. Die verschiedenen Farben markieren die Vorzeichen der Wellenfunktionen.

Karlsruher Physikkurs KPK

 

22.6.2 Berechnung

Vor Jahrzehnten hat ein Kollege mit seinem LK einmal diese Berechnungen ausgeführt und mit einem C64-Computer dann die Punktwolken berechnet. Das fand ich sehr beeindruckend, macht aber im heutigen Prüfungssystem keinen Sinn (die haben so 2 Wochen gebraucht...).

Wie geht man vor?

Man muss die Schrödingergleichung der Zustandsfunktion im H-Atom lösen.

Dabei benutzt man einen Trick, der oft bei Differenzialgleichungen geht.

Man schreibt die Gleichung in Kugelkoordinaten (auf der Erde würde man von Längengraden  Φ, Breitengraden  Θ und Abstand r vom Mittelpunkt reden).

Dann kann man die Wellenfunktion zerlegen in ein Produkt aus einer Funktion, die nur von r abhängt (Radialverteilung) und einer Funktion, die nur von den Längen- und Breitenkoordinaten abhängt (Kugelflächenfunktion).

Für jeder dieser beiden Funktionen kann man eine eigene Differenzialgleichung aufstellen, die dann recht einfach zu lösen ist.

Die Lösung der Kugelflächenfunktions-Gleichung sind vergleichbar mit den Fouriertransformationen, man erhält alle möglichen stehenden Wellen auf der Kugeloberfläche.

22.6.3 Radialverteilung der Elektronendichte

Hier sieht man die Rechenergebnisse für die ersten 3 s-Unterschalen.

Der Abstand ist in Angström angegeben: 1 A = 0,1 nm. Markiert sind die Radien der sog. Bohrschen Bahnen.

Man sieht, das Bohrsche Atommodell gibt vollkommen falsche Werte an.

22.6.4 Kugelflächenfunktionen

In Wikipedia finde tman eine sehr schöne Tabelle, die die Lösungsfunktionen für wasserstoffähnliche Atome angibt und die Orbitale dazu.

Hier eine Darstellung von Kugelflächenfunktionen:

Berücksichtigt man über 200 Eigenschwingungen, so kann man die Verteilung der Dunklen Materie beim Urknall ebenfalls durch Überlagerung von Kugelflächenfunktionen darstellen.

Der Kosmos war in einem komplexen Schwingugnszustand, ähnlich wie die Elektronenhülle eines Atoms.

Planck

Ob Kosmos oder Atom..die mathematischen Baupläne scheinen gleich zu sein.

Im nächsten Post schauen wir usn dann die Übergänge an und bereiten den Laseraufbau vor.

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