P 142: Alles hängt zusammen... (K)

 

wikipedia common

Bevor wir den Zusammenhang zwischen  HWZ und den anderen Größen begründen, kurz die Lösungshinweise:

 Aufgabe 1:

 

Aufgabe 2 ist eine reine Einsetzaufgabe:

Entweder N(t)/No = 0,75 einsetzen und durch ln-Bildung das t ausrechnen

 (Achtung: Die Zeitangabe für die Zerfallskonstante legt auch die Zeiteinheit für t fest) 

oder t einsetzen und N(t)/No ausrechnen...

Übrigens: Das e hier ist nicht die Elementarladung....

Aufgabe 3 (typisch im Abitur, dort bei Kondensator und Ladungen):

Zum Begriff der Aktivität:

Unter der Aktivität A(t) eines radioaktiven Präparates  versteht man die Anzahl der Zerfälle zur Zeit t pro Sekunde.

A(t) ist natürlich proportional zur Menge der vorhandenen Kerne N(t),

Das hängt mit der e-Funktion zusammen: Die Steigung ist bei dieser Funktion gleich dem Funktionswert. Ao ist somit proportional zu No, und deshalb gilt genau die entsprechende Formel auch für die Aktivität (A(t) ist die Ableitung von N(t): A(t) = dN/dt):

A(t) = Ao * exp( - λ*t)

Die Aktivität wird in Becquerel gemessen: 1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde

Beispiele:

Menschliche Nahrung 40 Bq/kg

Mensch: 130 Bq/kg

Uranerz :12 Millionen Bq/kg

23.2.2 Herleitung der Zusammenhänge

Der Zusammenhang zwischen  HWZ und Zerfallskonstante lässt sich leicht herleiten:

Die Berechnung der mittleren Lebensdauer erfordert komplizierte Mittelbildung über Integrale. Zum Schluss löst sich alles in Wohlgefallen auf und es kommt der Kehrwert der Zerfallskonstanten heraus.

 

Deswegen findet man heute in Büchern folgende "Festlegung": Die mittlere Lebesdauer ist die Zeit, in der die Anzahl der Kerne auf 1/e zurückgegangen ist.

Damit kann man natürlich wieder sehr leicht unsere Formel begründen:

 

Man kann sich das auch so erklären:

Die e-tel-Wertszeit bedeutet N(τ )/No = 1/e. 1/3 bedeutet aber e^(-1). Wenn man jetzt die Exponenten vergleicht, erkennt man sofort, dass -1 = - λ * τ ist.