P 21: Beugung am Spalt: Grundlage für die Quantenmechanik

2.4: Interferenz und Beugung am Spalt  

 

  Wir haben in Q2 gelernt, wie man die Interferenzbedingungen am Spalt herleitet.

Das steht in einer Extraseite:

Spalt 

Hier fasse ich zusammen:

Im Spalt sitzen beliebig viele Oszillatoren.

Für das 0. Maximum tragen sie alle mit dem Gangunterschied Δx =  0 * λ = 0 bei.

Je weiter wir das Strahlenbündel neigen, desto größer wird der Gangunterschied zwischen dem ersten und dem letzten Strahl des Spaltes. Sobald er  λ/2 ist, löschen sie sich aus. Neigt man das Strahlenbündel weiter, so löschen sich immer mehr Strahlen aus.

In Zukunft betrachten wir immer den Gangunterschied zwischen dem ersten und dem letzten Strahl:

Für Δx =  1 * λ können wir das Strahlenbündel in zwei Teile aufteilen, die sich gegenseitig auslöschen (jeder Strahl aus dem unteren Teil findet einen passenden Strahl aus dem oberen Teil, mit dem er sich auslöschen kann.).

Das gilt auch für Δx =  2 *λ , da sind es eben vier Teile, von denen sich je zwei auslöschen...

Daraus folgt die Minimabedingung für den Spalt:  Δx =  n * λ, wobei n = 1,2,3... ist (Achtung: n steht hier für eine natürliche Zahl, nicht für den bBechungsindex).

Um ein Maximum zu erhalten, muss man den Bereich z.B. in drei Teile aufteilen, für die Randstrahlen gilt dann:

Δx =  3/2 * λ, es löschen sich also zwei Bereiche aus, der dritte liefert Wellen für das erste Maximum.

Beim zweiten Maximum gilt:  Δx =  5/2 * λ, d.h.nur 1/5 aller Strahlen tragen zum Maximum bei.

Da die Intensität immer vom Quadrat der Amplitude einer Welle bestimmt ist, muss das erste Maximum also 1/9 der Energie des 0. Maximums haben, das zweite 1/25   usw...

Die allgemeine Formel für Maxima am Spalt beträgt also:   Δx =  (2n+1) * λ/2

 

All das steht, etwas ausführlicher mit Skizzen erklärt, auf der Zusatzseite.

Die sin- und tan-Formeln sind dann so wie beim Doppelspalt.

Beim Einzelspalt kann man nicht immer die Kleinwinkelnäherung annehmen.

Zur Vereinfachung machen wir das aber hier für die Maxima:

 sin α  = Δx/D =  [(2n+1) * λ/2]/D   sei gleich tan α  = a/e

D ist die Breite des Spaltes, alle anderen Bezeichnungen stehen beim Doppelspalt erläutert.

Damit erhalte ich für den Abstand a des n.-ten Maximum vom 0.Maximum die Formel:

   a = e* [(2n+1) * λ/2]/D

Da stecken drei Abhängigkeiten drin:

- Je weiter der Schirm entfernt ist (e steigt), desto weiter ist das Interferenzbild auseinandergezogen, da das a wächst.

- Je größer die Wellenlänge ist, desto weiter ist das Interferenzbild auseinandergezogen. Das ist logisch, da lange Wellen stärker gebeugt werden.

LP Uni Göttingen

 

- Je kleiner die Spaltbreite ist (je enger der Spalt, die Öffnung), desto weiter ist das Beugungsbild auseinander gezogen.

Prakikum Physik Uni Bremen

Ist der Spalt so schmal, dass nur eine Elementarwelle hindurchpasst, dann sieht man nur eine kugelförmige Welle überall hinter dem Spalt.

 

University of Louisville

 Aus dieser Erkenntnis:

Je kleiner die Spaltbreite ist (je enger der Spalt, die Öffnung), desto weiter ist das Beugungsbild auseinander gezogen.

werden wir bald die bedeutendsten Erkenntisse der Menschheit über die Realität unserer Welt ziehen können.

Deswegen möchte ich euch dazu noch was sagen:

 

 

 

 

 

 Übungsaufgabe:

Wie wiet muss man den Schirm vom Spalt entfernt aufstellen, damit die beiden zweiten Maxima auf dem Schirm gut sichtbar 5 cm auseinanderliegen?

Der Spalt hat eine Breite D von 0,1 mm, das verwendete Licht eine Wellenlänge von 634 nm.