P 25: Beugung am Gitter und Mehrfachspalte

 2.8 Beugung am Gitter und Mehrfachspalte

Wir haben bisher das Gitter in E2 und Q2 kennengelernt, aber nur die Entstehung von Maxima.

Schickt man weißes Licht durch ein Gitter, so ist auch das 0. Maximum weiß, aber für alle anderen Maxima wird das Licht nach Wellenlängen sortiert: Innen liegt der blaue Teuil, außen der rote Teil des Spektrums.

Die Erklärung dafür ist auf der Extraseite zusammengefasst:

Maxima beim Gitter

 Oft gibt es Aufgaben, bei denen 3- oder 4-fach Spalte diskutiert werden sollen. Alle solche Aufgaben kann man auf ein Gitter mit N Öffnungejn zurückführen.

Deswegen leiten wir jetzt die Formel für Minima beim Gitter her und werden dann drei Dinge sehen:

Beobachtungen am Gitter:

- Wenn alle Öffnungen zu einem Maximum beitragen, dann sprechen wir von einem Hauptmaximum. Die dafür notwendige Theorie haben wir schon.

- Es kann aber nur ein Teil der Öffnungen zu einem Maximum beitragen. Die nennen wir dann Nebenmaxima. Zwischen den Nebenmaxima liegen dann die Minima (oft auch Nebenminima genant) des Gitters. Die Nebenmaxima sind deutlich lichtschwächer als die Hauptmaxima.

- Wenn N sehr groß ist, werden die Nebenmaxima sehr lichtschwach, letztlich nicht mehr sichtbar. Das Beugungsbild des Gitters besteht dann aus einzelnen scharfen (Haupt-) Maxima mit sehr breiten Minima dazwischen.

Begründung:

Ihr solltet einmal selbst probieren die Bedingung für Minima beim Gitter herzuleiten:

Tipp 1: Fasst ein Gitter als Spalt auf. Jede Öffnung sendet eine Elementarwelle des Spaltes aus.

Tipp 2: Schreibt euch die Formel für Minima am Spalt hin und überlegt, was ihr ändern müsst.

Tipp 3: Drückt D durch N und g aus.

Hier noch mal die Zusammenstellung der Formeln für Spalt und Doppelspalt:

Zu Tipp 1: Wir müssen die Formel für Minima am Spalt nehmen.

Zu Tipp 2: D passt hier nicht, es ist jetzt die Breite des Gitterbereichs, der vom Licht beleuchtet wird,                      in der Regel die Breite des Gitters.

Zu Tipp 3: D = N*g

>>> Ein Gitter liefert Minima für die durch den Winkel α  festgelegten Richtungen, wenn gilt:

              sin  α = m * λ  / (N*g) mit m = 1, 2, 3, 4, ...

Achtung:

Ist m = N, so entsteht kein Minimum, denn dann gilt

      sin  α =  λ  / g

Hier liegt das 1. Hauptmaximum.

Somit gibt es N-1 Minima zwischen dem 0. und dem 1. Hauptmaximum beim Gitter.

Und zwischen jedem Minimum muss ein Nebenmaximum liegen: 

Das Gitter hat also N-2 Nebenmaxima.

Die Formel liefert uns natürlich auch den Doppelspalt:

N = 2 bedeutet 1 Minimum und 0 Nebenmaxima.

Dreifachspalt:

N = 3 bedeutet 2 Minima und 1 Nebenmaximum

Hier die Intensitätsverteilung des realen Dreifachspaltes (die ersten Hauptmaxima sind durch den Abfall des 0. Spaltmaximums abgeschwächt)

Bildungsserver BW

 

Chemopedia

Vierfachspalt:

N = 4 bedeutet 3 Minima und 2 Nebenmaxima

Intensitätsverteilung des realen Vierfachspaltes:

Bildungsserver BW

 

Das gilt natürlich nicht nur zwischen dem 0. und dem 1. Hauptmaximum, sondern auch zwischen dem 1. und dem 2. Hauptmaximum, usw:

Auch bei m = 2*N gibt es kein Minimum, sondern das 2. Hauptmaximum.

 Die Darstellung gefällt mir am Besten, aus jeder Spaltöffnung kommt nur eine Elementarwelle, die Hauptmaxima sind alle gleich hell...das reicht für uns aus...

Lehrerpraktikum Uni Göttingen

Nun schauen wir usn das mal in einer Simulation in  Leifiphysik an:

 Gitter mit Nebenmaxima

Ich würde die Spaltbreite ganz klein einstellen (10 nm), wir wollen ja nur eine Elementarwelle pro öffnung haben. Dann stellt den Abstand der Gitteröffmnung halbwegs hoch ein, z.B. 1300 nm.

Nun beginnt mit N = 2 und erhöht schrittweise die Spaltanzahl. Achtet auf die Nebenmaxima und wie sie immer schwächer werden.

Verändert auch mal die Wellenlänge.

Skizuziert euch für N = 2,3 und4 die Intensitätsverteilungen in euer Heft.

Und natürlich solltet ihr euch auch das in diesem Post vermittelte Wissen selbst notieren.

Die zweite Animation ist auch ganz nett, die Formeln bringen euch gar nichts...wer Physik studiert, wird sie sich mal reinziehen müssen...später...

Zum Versuchsaufbau:

Schaut euch auch mal den Versuchsaufbau an...der Kondensor leuchtet den Spalt aus, der im 0. Maximum halbwegs kohärentes Licht ausstrahlt.

In der Zeichnung fehlt aber die Abbildungslinse. Sie bildet den Beleuchtungsspalt auf den Schirm ab und sorgt für scharfe rechteckige Maxima.

Häufig verwendet man sog. Rowland-Gitter. Da liegen die Öffnungen auf einer gekrümmten Fläche, so dass das Gitter selbst die Abbildung erzeugt. Solche Gitter verteilt man auch im Unterricht. Man spart sich dann Linsen....

Spektren:

Bei hohem N liefert jedes Hauptmaximum ein Spektrum

Ganz häufig nutzt man Spektren höherer Ordnung, da sie breiter sind.

Zu Spektren kommen wir noch.

Hier aber noch  wichtige Ergänzung (war schon mal als Abiaufgabe dran):

 

 Spektrales Auflösungsvermögen  eines Gitters:

Auf der Extraseite zum Auflösungsvermögen A ist oben die Definition angegeben

A = λ/Δλ

Wir wollen nun  zeigen: Für ein Gitter mit N beleuchteten (!) Öffnungen ist das Auflösungsvermögen im Spektrum der Ordnung n gleich n * N: 

A = n*N

 Die beiden Wellenlängen λ und λ+ Δλ  ( die sich also um Δλ unterscheiden), können noch getrennt gesehen werden, wenn das n.-te Maximum der längeren Wellenlänge λ  + Δλ mit dem nächsten Nebenminimum von λ zusammenfällt.

In Formeln übersetzt heißt das:

 Gleichsetzen der sinus-Werte der Richtungswinkel dazu:

n.tes Maximum der längeren Wellenlänge im  (n*N + 1).ten Nebenminimum

  n*(λ + Δλ) /g    =     (n*N + 1) * λ  / (N*g)

   g kann man auf beiden Seiten "kürzen", rechts N ausklammern und ebenfalls kürzen

dann erhält man:

n*λ + n* Δλ  = n* λ + 1/N* λ

daraus:  n* Δλ  = 1/N* λ

und schließlich für das Auflösungsvermögen eines Gitters:

    A =  λ / Δλ = n* N

 

Die Minima-Formel für Gitter muss man im Abi nicht können....aber wenn man die Aufgabe für einen Doppelspalt (N=2) stellt, kann man mit offiziell bekannten Formeln für Maxima und Minima beim Doppelspalt genau so vorgehen...das kommt öfters vor.